von Peter Stumpff Max-Planck-Institut für Radioastronomie, Bonn

Kleinheubacher Berichte, Band Nr. 15, 1972, Seite 431

Zusammenfassung

Im Prozeßrechner-Programm des 100-Meter-Teleskops des Max-Planck-Instituts für Radioastronomie ist eine analytische Pointingtheorie vorgesehen, die alle diejenigen Fehler berücksichtigt, welche von den speziellen Teleskopeigenschaften abhängen:

• Nullpunktsfehler der Winkelmeßsysteme
• Kollminationsfehler der Achsen und der Hauptkeule
• Azimut und Zenitdistanz des instrumentellen Zenits
• Terme für die Biegung und Refraktion
• mögliche Fehler in den astronomischen Koordinaten der Radioquelle und den geographischen Koordinaten des Beobachters

Der Einfluß dieser Fehler auf beobachtete Positionsdifferenzen (Soll minus Ist) wird diskutiert, und geplante Beobachtungsverfahren für ihre Bestimmmung werden kurz beschrieben.   

Die Pointingtheorie eines radioastronomischen Teleskops beschreibt den analytisschen Zusammenhang zwischen den astronomischen Koordinaten einer kosmischen Radioquelle und den Ablesungen der Winkelmeßsysteme des Teleskops zum Beobachtungszeitpunkt ( also zu dem Zeitpunkt, in welchem die Richtung der Antennenkeule mit der Richtung der Quelle übereinstimmt).Umgekehrt lassen sich radioastronomische Beobachtungen erst dann effektiv und zeitsparend gestalten, wenn dieser Zusammenhang für das verwendete Teleskop bekannt ist und während der Beobachtung ständig berücksichtigt werden kann. Im Folgendem wird eine erste, grobe Annäherung an eine solche Theorie in der Form dargestellt, wie sie sich für das 100-Meter-Teleskop des Max-Planck-Instituts für Radioastronomie als zweckmäßig erweist. Dieses Teleskop ist - wie die meisten großen Radioteleskope - ein Altazimutinstrument, d. h. es ist um zwei zueinander senkrecht stehende Achsen drehbar, von denen die eine (Elevations- oder Höhenachse) parallel, die andere (Azimutachse) vertikal zum Horizont ausgerichtet ist. Die Steuerung des Teleskops erfolgt durch einen schnellen Prozeßrechner des Typs Ferranti ARGUS 500.

Wir nehmen an, daß die Position der Radioquellen einem der astronomischen Intertialsysteme (z.B. galaktische Koordinaten)gegeben ist. Mit bekannten fundamentalastronomischen Verfahren lassen sich dann scheinbare Rektaszension, scheinbare Deklination und scheinbarer Stundenwinkel für den Beobachtungszeitpunkt berechnen; diese Rechnungen enthalten reine Drehungen (z.B. den Übergang von galaktischen auf äquatoriale Koordinaten, oder deren Effekt von Präzessioin und Nutation) und Verzerrungen (z.B. Aberration). Dieser Teil der Steuerungsaufgabe wird an anderer Stelle (P. Stumpff, 1971) beschrieben und kann hier übergangen werden. Wir können bei der Beschreibung der Pointingtheorie davon ausgehen, daß der Stundenwinkel (H) und die Deklination (δ) zur Beobachtungszeit bekannt sind. Daraus und aus der geographischen Breite (Φ) erhält man astronomisches Azimut (A) nach den bekannten Gleichungen

(1)

cos a cos A = - sin Φ cos δ cos H + cos Φ sin δ

cos a sin A = - cos δ sin H

sin a = cos Φ cos δ cos H + sin Φ sin δ  ,

wobei A von Norden über Osten (0° - 360°) und a vom Horizont zum Zenit (0° - 90°) gezählt werden.

Durch Regelung könnte man nun die "Ist-Werte" A_i , a_i der Achsenstellungen des Teleskops den astronomischen "Soll-Werten" A, a angleichen. Die Radioquelle müßte dann im Zentrum der Antennenkeule stehen, vorausgesetzt, die folgenden Bedingungen wären erfüllt:

1. 1) H und δ beschreiben die momentane Richtung der Quelle exakt.
2. 2) Der in den obigen Gleichungen angenommene Wert von Φ ist fehlerfrei.
3. 3) Die atmosphärische Refraktion kann vernachlässigt werden.
4. 4) Das System der instrumentellen Koordinaten (A_i, a_i) ist ein Orthogonalsystem, das gegenüber dem astronomischen System (A, a) keine Drehung und Nullpunktsfehler besitzt.

Jede Abweichung von diesen Bedingungen erfordert, daß an die aus den Gln. (1) folgenden Werte A, a noch Korrekturen ΔA, Δa angebracht werden müssen, bevor eine Anpassung der A_i, a_i sinnvoll ist. Diese Korrekturen bezeichnen wir als "Pointingfehler" und geben im Folgenden eine Fehlertheorie 1. Ordnung für ihren funktionalen Zusammenhang mit gewissen (durch Beobachtung zu bestimmenden) Konstanten und mit den Koordinaten an.

Zunächst betrachten wir die eigentlichen Instrumentalfehler und die atmosphärische Refraktion (vgl. die Punkte 3 und 4 weiter oben). Ihr Anteil an den Korrekturen sei im Sinne eines Soll-Ist-Vergleichs durch

(2)

ΔA_I = A_i^* - A_i

Δa_I = a_i^* - a_i

definiert, wobei die A_i^*, a_i^* den wahren astronomischen Koordinaten auf der Stelle am Himmel entsprechen, auf welche die Antennenkeule gerade hinweist, wenn die Ablesung der Winkelmeßsystem durch die A_i, a_i gegeben sind. Der Index "I" drückt aus, daß diese Korrekturen von instrumementellen Fehlern herrühren. Aus der Theorie des astronomischen Universalinstruments (siehe z.B. K. Stumpff, 1955) folgt in erster Näherung

(3)

ΔA_I = A₀ + c sec a_i^* - c´ tg a_i^* - i sin(A_i^* - e) tg a_i^*

Δa_i = a₀ + b cos a_i^* - r ctg a_i^* - i cos(A_i^* - e)

Die in diesen Gleichungen auftretenden Konstanten haben die folgende Bedeutung:

(4)

e = Azimut des instrumentellen Zenitpunktes

i = Zenitdistanz des instrumentellen Zenitpunktes

c = Kollminationsfehler des Teleskops

      (Neigung zwischen Antennenkeule und horizontaler Drehachse = 90° + c)

c´= Kollminationsfehler der Achsen

      (Neigung zwischen horizontaler und vertikaler Drehachse = 90° + c`)

A₀ = Nullpunktsfehler des Azimut-Winkelmeßsystems

a₀ = Nullpunktsfehler des Höhen-Winkelmeßsystems

b = Biegungskonstante

r = Refraktionskonstante

In einer Fehlertheorie 1.Ordnung sind dies die auf jeden Fall zu erwartenden Hauptfehler. Dabei sind c, c´,i, b, und r als kleine Größen, während A₀, a₀ und e beliebig große Winkel sein können. Die Gleichungen (3) gelten in der obigen Form dementsprechend nur so lange, als die Zenitdistanz nicht zu klein wird (Terme mit sec oder tg der Höhe); sie versagen außerdem in Horizontnähe wegen des Refraktionstermes. Wegen der beliebig großen, zulässigen Werte der Nullpunktsfehler (A₀, a₀) dürfen die A_i^*, a_i^* nicht etwa von vornherein durch die A_i, a_i ersetzt werden. Mit den unter (4) definierten Konstanten lassen sich Gln. (3) natürlich auf Terme höherer Ordnung erweitern; es ist aber wahrscheinlich, daß zur Erreichung höherer Genauigkeit zusätzliche Konstanten eingeführt werden müssen (z.B. für die Biegung), sodaß wir hier von einer solchen Erweiterung absehen wollen. Exzentrizitätsfehler in dem Winkelmeßsystemen werden beim 100-Meter-Teleskop direkt eliminiert (z.B. durch gleichzeitige Ablesung von vier jeweils um 90° gegeneinander versetzten Zählern im Azimut). Wie diese und andere möglicherweise auftretende Fehler zu berücksichtigen sind, hängt von der jeweiligen Konstruktion des Teleskops, der Winkelmeßsysteme, der Empfangseinrichtungen usw. ab und soll daher hier im Gegensatz zu den oben betrachteten Hauptfehlern übergangen werden, die sich völlig allgemein definieren lassen und mittels astronomischer Beobachtungen bestimmt werden können.

Wie bereits erwähnt, hängen die Pointingkorrekturen im Prinzip auch von Fehlern in den für die Quelle angenommenen Koordinaten H, δ und in der geographischen Breite Φ ab. Im Vergleich zu der bei einer Einzelantenne zu erwartenden Positionsgenauigkeit können diese Fehler im allgemeinen vernachlässigt werden. Trotzdem wollen wir sie hier aus Gründen in Betracht ziehen, die weiter unten ersichtlich werden.

Wir nehmen an, daß die wahren (fehlerlosen) Werte H^*, δ^*, Φ^* gegeben sind, wir die Gleichungen (1) jedoch auf die fehlerhaften Werte H, δ, Φ anwenden, wobei die Fehler im Sinne eines Soll-Ist-Vergleichs durch

(5)

dH = H^* - H

dδ = δ^* - δ

dΦ = Φ^* - Φ

definiert sind. Nach bekannten Formeln der sphärischen Trigonometrie erhalten wir damit entsprechende Fehler für Azimut und Höhe

(6)

dA_K =     dH ( sec a cos p cos δ )

            + dδ ( sec a sin p )

            + dΦ ( tg a sin A )

da_K =   - dH (sin p cos δ )

            + dδ ( cos p )

            + dΦ ( cos A )

wobei p der parallaktische Winkel ist und der Index "K" darauf hinweist, daß diese Fehler von falschen Werten der benutzten Koordinaten der Quelle und des Beobachters herrühren. Die wahren astronomischen Koordinaten der Quelle im Beobachtungszeitpunkt seien A^*, a^*; statt dessen erhalten wir durch Anwendung der Gln. (1) im Prozeßrechnerprogramm fehlerhafte Koordinaten

(7)

A = A^* - dA_K'

a = a^* - da_K'

Die Regelungsaufgabe kann nun folgendermaßen formuliert werden: Die wahren astronomischen Koordinaten A_i^*, a_i^*, die der Richtung der Antennenkeule entsprechen, sollen den wahren astronomischen Koordinaten der Quelle A^*, a^* möglichst gut angepaßt werden. Im Idealfall soll

(8)

A^* - A_i^* = 0

a^* - a_i^* = 0

sein. Unter Verwendung der Gln. (2) und (7) lassen sich diese Gleichungen in der folgenden Form schreiben:

(9)

(A + ΔA) - A_i = 0

(a + Δa) - a_i = 0

wobei die Pointingkorrekturen durch

(10)

ΔA = dA_K - ΔA_I

Δa = da_K - Δa_I

definiert sind. in den Gln. (9), die durch das Regelungsprogramm erfüllt werden müssen, sind die A, a als Resultate der Transformation Gln. (1) und die A_i, a_i durch die Ablesung der Winkelmeßsysteme explizit bekannt. Die ΔA, Δa sind formal durch Gln. (10), (6) und (3) gegeben, wobei man die A_i^*, a_i^* in Gln. (3) näherungsweise durch die A, a ersetzen darf. Zur Abkürzung führen wir

(11)

P₁ =  -c

P₂ =  -A₀ + dH sin Φ

P₃ =   c´

P₄ =  -i sin e - dH cos Φ

P₅ =   i cos e + dΦ

P₆ = - dδ cos Φ sec δ

P₇ = - a₀

P₈ = - b + dδ sin Φ sec δ

P₉ =   r

ein. Die Pointingkorrekturen lassen sich damit auf die Form

(12)

cos a ΔA = P₁ + P₂ cos a + P₃ sin a + P₄ sin a cos A + P₅ sin a sin A + P₆ sin A

Δa = P₇ + P₈ cos a + P₆ sin a cos A - P₄ sin A + P₅ cos A + P₉ ctg a

bringen, wobei der in Gln. (6) auftretende parallaktische Winkel p mittels bekannter Formeln der sphärischen Trigonometrie eliminiert wurde. Im Prozeßrechnerprogramm des 100-Meter-Teleskops werden die Pointingkorrekturen gemäß (12) berücksichtigt, wobei die 9 Koeffizienten zunächst gleich Null gesetzt werden. Nach der Inbetriebnahme werden eine Reihe von Radioquellen bekannter Position während ihres täglichen Laufes am Himmel verfolgt, wobei gleichzeitig die Antenne in Azimut bzw. Höhe über der Quelle hin- und hergefahren wird, und zwar bis zu genügend großen Abständen beiderseits der Quelle. Die mit dieser "Scan-Technik" erhaltenen Meßkurven werden auf Magnetband geschrieben und an einem off-line Rechner ausgewertet. Jede solche Kurve wird ein Maximum enthalten, das den wahren Ort der Quelle repräsentiert. Die diesem Maximum entsprechenden Werte von A_i bzw. a_i lassen sich bestimmen. Das die Pointingkorrekturen vor der Regelung gleich Null gesetzt wurden, hat zur Folge, daß zwar die Skala der astronomisch berechneten Koordinaten A, a identisch wird mit der Skala der abgelesenen A_i, a_i -Werte (siehe Gln. 9), daß aber das der Quellenpositionen entsprechende Maximum der Meßkurve nicht an der erwarteten Stelle liegt. Die Differenz zwischen Erwartungswert und abgelesenem Wert entspricht der Pointingkorrektur an der jeweiligen Position A, a und kann aus den Meßkurven abgeleitet werden. Anschließend läßt sich aus allen als Funktion von A, a erhaltenen ΔA, Δa gemäß den Gleichungen (12) nach der Methode der kleinsten Quadrate ein Satz von Werten für die 9 Unbekannten P₁ - P₉ berechnen

Es ist zu erwarten, daß die Werte der Pointingkonstanten einer solchen Theorie von äußeren Bedingungen abhängig sind, z.B. von Temperatur, Windstärke, Fahrweise des Teleskops (geschwindigkeitsabhängige Korrekturglieder) und ähnlichen. Die Planung jeder Beobachtungsreihe, aus der Pointingkonstanten abgeleitet werden sollen, muß dies berücksichtigen. Man kann hoffen, die Abhängigkeit der Pointingkonstanten von solchen Einflüssen allmählich durch Vergleich von Beobachtungsreihen zu bestimmen, die unter verschiedenen, aber bekannten Bedingungen vorgenommen wurden. Für das 36-Fuß-Teleskop des National Astronomy Observatory hat J. Schraml (1969) dies mit einer hier beschriebenen ähnlichen Pointingtheorie mit gutem Erfolg durchgeführt und schließlich eine Pointinggenauigkeit erreicht, die einem Streufehler von etwa ⁺/- 5" entsprach.

Abschließend betrachten wir noch (wie weiter oben angekündigt) den Einfluß der angenommenen Koordinatenfehler (dH, dδ, dΦ). Die Gleichungen (11) zeigen, daß der Einfluß von dH und dΦ nicht von dem der instrumentellen Fehler abtrennbar ist. Der Fehler dH im Stundenwinkel setzt sich im Prinzip aus Fehlern in der Rektaszension der Quelle, in der geographischen Länge und in der dem Prozeßrechner verfügbaren Uhrzeit zusammen. Während die ersten beiden Fehler (falls überhaupt merklich) für jede Quelle bzw. ganz allgemein konstant sind, würde ein Uhrenfehler nach seinem Auftreten einen Sprung in den Pointingkonstanten P₂ und P₄ bewirken; falls dies beobachtet würde, sollte man daher die Möglichkeit eines Uhrenfehlers in Betracht ziehen. Ein Fehler in der Deklination (dδ) läßt sich isoliert von allen übrigen Fehlern bestimmen (Konstante P₆). Im Rahmen der hier betrachteten Pointingtheorie gilt also für eine Einzelantenne dasselbe, was C.M. Wade (1970) für ein Zwei-Antennen-Interferometer gezeigt hat: Da Deklinationsfehler in gemessene Positionsdifferenzen unabhängig von allen übrigen Instrumentalfehlern eingehen, kann man sie durch astronomische Beobachtungen bestimmen und somit absolute Deklinationen von Radioquellen messen. Anders als im Falle eines Interferometers, wo man Positionsgenauigkeiten von 1" oder sogar einen Bruchteil davon erzielen kann, hat diese formale Möglichkeit bei einer Einzelantenne natürlich keine astronomische Bedeutung, weil Quellenpositionen heute im allgemeinen bereits viel genauer bekannt sind, als bei der großen Keulenbreite von Einzelantennen notwendig ist. Man kann jedoch daran denken, die hier angegebene Pointingtheorie auf innere Konsistenz zu prüfen, indem man statt der wahren eine um mehrere Bogenminuten künstlich verfälschte Deklination der Quelle annimmt und sodann versucht, diesen Fehler durch die Beobachtungen mittels der hier angegebenen Gleichungen zu bestätigen. Wenn das einigermaßen gut gelingt, darf man annehmen, daß die eingeführten Instrumentalfehler das Verhalten des Teleskops physikalisch signifikant beschreiben. Gelingt es nicht, so folgt, daß weitere, nicht berücksichtigte Instrumentalkonstanten eine merkliche Rolle spielen; die hier auf analytischem Wege abgeleiteten Pointinggleichungen haben dann mehr oder weniger nur noch interpolatorischen Charakter.
 
 

Zum Schluß soll noch darauf hingewiesen werden, daß die Refraktionskonstante r auch im Radiobereich genügend bekannt ist, um sie gegebenenfalls aus der Liste der Unbekannten auszuschließen, und daß etwaige systematische Restfehler bei der eigentlichen Regelung (Gl. 9) sich durch entsprechende Änderungen der Nullpunktsfehler (A₀, a₀) bemerkbar machen werden.
 
 

Schrifttum


Schraml, J.: 1969, "Pointing and focus calibration of the 36-Foot_Telescope", Unveröffentlicher Interner Report des National Radio Astronomy Observatory, Green Bank, W. Va./USA

Stumpff, K.: 1955, "Geographische Ortsbestimmungen", Seite 35 ff, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin

Stumpff, P.: 1971, "Prozeßsteuerung des 100-Meter-Teleskops: Astronomisches Konzept", Mitt. der Astronomischen Gesellschaft Nr. 31 (G. Braun GmbH, Karlsruhe)

Wade, C.M.: 1970, "Precise Positions of Radio Sources. I. Radio Measurements", Astrophys. Journal 162, 381

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